第 1 章：引言

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本节描述本书中使用的符号。读者可以暂时跳过此节，需要时再回来查阅，但由于内容简短易读，建议在深入其他章节之前先行阅读。

请注意，本书中的所有内容都有编号，这样便于与他人讨论不同的方程、表达式等。也就是说，可以随时引用式 (3.12)，它表示该方程/表达式位于第 3 章，且为该章第 12 个。

通常意义上的数可以是正数、负数，可以有小数位，甚至可以是有理数或无理数。所有这类数的集合记作 $\R$，这些数称为实数。在本书中，我们常使用标量（scalar）或标量值来代替实数这一说法，标量总是用小写字母表示，例如 $j, s, t, a, m$。标量也可以带下标，这意味着 $k_1$、$k_2$ 和 $k_3$ 是不同的数。也可以写作 $\sum_{i=1}^3k_i$，表示将 $k_1$、$k_2$ 和 $k_3$ 相加。记号 $k\in \R$ 表示 $k$ 是一个实数，更精确地说，$k$ 属于全体实数的集合。

标量 $k$ 的绝对值记作 $\abs{k}$，定义如下

\begin{equation} \abs{k} = \left\{ \begin{matrix} k, & \mathrm{if\ } k \geq 0\\ -k, & \mathrm{if\ } k < 0 \end{matrix} \right. , \end{equation}

(1.1)

即，如果该数为负，则去掉负号。

集合是由若干元素构成的整体，例如其中的元素可以是整数。包含数 $1$、$2$ 和 $4$ 的集合记作 $\{1,2,4\}$。当需要一个变量（例如 $i$）能取集合中的任意元素时，我们写作 $i\in\{1,2,4\}$。

实数常常取某个区间内的值。例如，如果我们知道 $x$ 可以取从 0 到 1（含 0 和 1）的任意值，可以写作 $x \in [0, 1]$。圆括号表示不包含该端点。例如，

\begin{gather} x \in [-1, 2) \ \ \ \mathrm{denotes} \ \ \ -1 \leq x < 2 \\ \theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \ \ \ \mathrm{denotes} \ \ \ -\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{\pi}{2}. \end{gather}

(1.2)

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本节概述本书将用到的一些有用的三角学概念，但这绝非对该主题的全面论述。

最好随时记住余弦、正弦和正切函数。请参见图 1.1。 对于直角三角形，有如下关系：

\begin{align} \cos \theta &= \frac{a}{c}, \\ \sin \theta &= \frac{b}{c}, \\ \tan \theta &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{a}. \end{align}

(1.3)

图 1.1 对应的勾股定理为 $c^2 = a^2 + b^2$。

接下来介绍一组有用的三角恒等式。三角恒等式为

\begin{equation} \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1. \end{equation}

(1.4)

余弦定理是一个非常有用的公式，其几何构型如图 1.2 所示。 余弦定理为

\begin{equation} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma. \end{equation}

(1.5)

与之相关的是正弦定理，其几何构型如图 1.3 所示。 正弦定理就是

\begin{equation} \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}. \end{equation}

(1.6)

本节省略所有三角学公式的证明，不过其中一些公式将在后续章节中得到证明。

余弦和正弦的反函数也是需要了解的重要内容。例如，$\theta = \arcsin a$ 表示 $\sin \theta = a$。函数 $\arcsin a$ 的取值区间为 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。类似地，$\theta = \arccos a$ 表示 $\cos \theta = a$，且 $\arccos a \in [0, \pi]$。

但请注意，仅由 $\sin \theta = a$ 并不能得出 $\theta = \arcsin a$。例如，$\sin 4\pi = 0$，但 $\arcsin 0 = 0$，而非 $4\pi$。实际上 $\sin \theta = a$ 有无穷多个解，$\arcsin$ 仅在区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 内是 $\sin$ 的反函数。不过我们可以将 $\sin \theta = a$ 的所有解列为 $\theta = \arcsin(a) \pm 2 k \pi$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, \ldots$，以此类推。

至此，是时候开始本书的第一个正式章节了。点击此处前往第 2 章，或使用左上角的菜单导航。