第 2 章：向量（沉浸式线性代数）

在本书中，我们用大写斜体字母表示点，例如 $A$、$B$ 和 $Q$。在前面几章的大部分内容中，我们将使用二维和三维的点，偶尔也会用到一维的点。首先给出向量的定义。

定义 2.1：向量
设 $A$ 和 $B$ 为两个点。从 $A$ 到 $B$ 的有向线段记作：

\begin{equation} \overrightarrow{AB}. \end{equation}

(2.1)

这条有向线段构成一个向量。如果能将该线段平移到另一条方向和长度相同的线段上，则它们构成同一个向量。

$A$

$B$

$\overrightarrow{AB}$

$C$

$D$

$\overrightarrow{CD} = \vc{v}$

例如，交互图 2.2 中的两条线段 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 构成同一个向量，点击“前进”按钮即可看到。

我们说 $\overrightarrow{AB}$ 是一个向量，且

\begin{equation} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}. \end{equation}

(2.2)

向量的一种更简短的记法是使用单个粗体字符，例如 $\vc{v}$。如图所示，$\vc{v} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$。一些教材区分有向线段和向量，将简写形式 $\vc{v}$ 留给真正的向量，而将较长的 $\overrightarrow{AB}$ 用于有向线段。虽然这样在数学上可能更严谨，但在本书中我们忽略这一区别，将向量和有向线段视为同一概念。

我们还会在方便时使用向量的尾点和头点这两个术语，其中头点是箭头所在端，尾点是另一端。

向量完全由以下两点定义：

方向，以及
其长度（length）

注意上述列表中没有向量的起始位置。只要方向和长度不变，就可以将向量平移到任意位置。这在交互图 2.3 中有所展示。

交互图 2.3：向量没有特定的起始位置。这个向量画在某个位置，但即使将它平移到另一处，它仍是同一个向量。点击/触摸前进来移动该向量。

$\vc{u}$

向量的长度记作 $\ln{\overrightarrow{AB}}$，简写为 $\ln{\vc{v}}$。

\begin{equation} \text{length of vector:}\spc\spc \ln{\vc{v}} \end{equation}

(2.3)

向量的长度是一个标量，也就是说它只是一个普通的数，例如 $7.5$。使用“标量”一词是为了强调它只是一个数，而不是向量或点。关于如何计算向量的长度，将留到第 3 章讨论。

注意点的顺序很重要，即如果交换 $A$ 和 $B$ 的顺序，会得到另一个向量 $\overrightarrow{BA}$。它的方向相反，但长度相同，即 $\ln{\overrightarrow{AB}} = \ln{\overrightarrow{BA}}$。即使是 $\overrightarrow{AA}$ 也是一个向量，称为零向量，如下面的定义所示。

定义 2.2：零向量
零向量记作 $\vc{0}$，可以用同一个点构造有向线段得到，即 $\vc{0}=\overrightarrow{AA}$。注意 $\ln{\vc{0}}=0$，即零向量的长度为零。

两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 是平行的，如果它们方向相同或相反，但不一定长度相等。这在图 2.4 的右侧有所展示。注意如何在图中改变向量——有些可以通过拖动头点改变，有些则通过拖动尾点改变。记号

\begin{equation} \vc{u}\, ||\, \vc{v} \end{equation}

(2.4)

表示 $\vc{u}$ 平行于 $\vc{v}$。零向量 $\vc{0}$ 被定义为与所有其他向量平行。接下来，我们将介绍如何将两个向量相加得到一个新向量，然后在 2.3 节讨论标量与向量的乘法。

线性代数中有两种基本的向量运算，即向量加法和标量与向量的乘法，后者有时也称为向量缩放。本书中的大部分数学内容都建立在这两种运算之上，即使是最复杂的运算也常常归结为加法和缩放。向量缩放将在 2.3 节中描述，而向量加法在此介绍。幸运的是，向量加法和向量缩放的行为都符合我们的预期。

定义 2.3：向量加法
两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的和 $\vc{u}+\vc{v}$ 按如下方式构造：将 $\vc{u}$ 放在任意位置，然后将 $\vc{v}$ 放置为使 $\vc{v}$ 的尾点与 $\vc{u}$ 的头点重合，则 $\vc{u}+\vc{v}$ 就是从 $\vc{u}$ 的尾点出发、到 $\vc{v}$ 的头点结束的向量。

向量和的具体构造方式如下面的交互图 2.5 所示。

交互图 2.5：图中显示了两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$。它们将相加形成向量和 $\vc{u} + \vc{v}$。注意可以像往常一样通过拖动头点来改变向量。点击/按下前进进入下一步。

交互图 2.5：图中显示了两个向量 $\hid{\vc{u}}$ 和 $\hid{\vc{v}}$。它们将相加形成向量和 $\hid{\vc{u} + \vc{v}}$。注意可以像往常一样通过拖动头点来改变向量。点击/按下前进进入下一步。

$\vc{u}+\vc{v}$

$\vc{v}$

$\vc{u}$

$\vc{v}$

到目前为止，我们只在平面上（即二维中）演示了向量加法。但它同样可以在三维中演示，如下面的交互图 2.6 所示。记住，你可以通过右键拖动鼠标或双指滑动来旋转图形。

交互图 2.6：图中显示了两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$。它们将相加形成向量和 $\vc{u} + \vc{v}$。注意可以像往常一样通过拖动头点来改变向量，拖动时点将在屏幕平面内移动。点击/按下前进进入下一步。

交互图 2.6：在最后这一步中，我们添加了一些虚线辅助线，以便更容易看清空间关系。记住，你可以按住鼠标右键并移动鼠标，从另一个视角观察向量加法。在平板上，同样的操作通过双指滑动完成。注意通过这样改变视角，你可以验证 $\hid{\vc{u}}$、$\hid{\vc{v}}$ 和 $\hid{\vc{u}+\vc{v}}$ 都位于同一平面内。也可以尝试移动向量，使投影点不再落在一条直线上。

$\vc{u}$

$\vc{u}+\vc{v}$

$\vc{v}$

正如在打砖块游戏 2.1 中看到的那样，球的速度在一段时间后增加了 50%。这就是向量缩放的一个例子，速度向量简单地被乘以因子 $1.5$。然而，缩放因子也可以是负数，这些都总结在下面的定义中。除了向量缩放这一术语外，我们也使用标量与向量的乘法这一说法。

定义 2.4：标量与向量的乘法
当向量 $\vc{v}$ 乘以标量 $k$ 时，得到向量 $k\vc{v}$，它平行于 $\vc{v}$，长度为 $\abs{k}\,\ln{v}$。若 $k$ 为负，则 $k\vc{v}$ 的方向与 $\vc{v}$ 相反；否则与 $\vc{v}$ 方向相同。若 $k=0$，则 $k\vc{v}=\vc{0}$。

由此可得一个推论：若存在标量 $k$ 使 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 满足 $\vc{u} = k \vc{v}$，则 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 平行。

标量与向量的乘法如下面的交互图 2.7 所示。建议读者亲自操作该图。

交互图 2.7：这里展示向量 $\vc{v}$ 如何乘以标量 $k$ 得到 $k\vc{v}$。读者可以移动向量 $\vc{v}$，也可以通过拖动图下方的滑块来调整 $k$ 的值。注意当 $k$ 为负时 $k\vc{v}$ 会发生什么变化。作为练习，试着让 $\vc{v}$ 的头点与 $k\vc{v}$ 的头点重合。

交互图 2.7：这里展示向量 $\hid{\vc{v}}$ 如何乘以标量 $\hid{k}$ 得到 $\hid{k\vc{v}}$。读者可以移动向量 $\hid{\vc{v}}$，也可以通过拖动图下方的滑块来调整 $\hid{k}$ 的值。注意当 $\hid{k}$ 为负时 $\hid{k\vc{v}}$ 会发生什么变化。作为练习，试着让 $\hid{\vc{v}}$ 的头点与 $\hid{k\vc{v}}$ 的头点重合。

$k=$

$\vc{v}$

$k\vc{v}$

既然我们已经能进行向量加法和实数对向量的缩放，那么两个向量的减法也就很直接了。如下面的例子所示。

例 2.1：向量减法
注意，利用向量加法（定义 2.3）和乘以 $-1$ 的标量与向量的乘法（定义 2.4），我们可以从一个向量 $\vc{u}$ 中减去另一个向量 $\vc{v}$，按如下方式

\begin{equation} \underbrace{\vc{u} + (\underbrace{-1\vc{v}}_{\text{scaling}})}_{\text{addition}} = \vc{u}-\vc{v}, \end{equation}

(2.5)

其中我们引入了简写记号 $\vc{u}-\vc{v}$ 来表示等号左边的表达式。向量减法如下图所示。

交互图 2.8：这里演示了向量减法 $\vc{u}-\vc{v}$。首先只显示两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$。

交互图 2.8：最后，我们看到 $\hid{\vc{u}-\vc{v}}$ 是从 $\hid{\vc{v}}$ 的头点到 $\hid{\vc{u}}$ 的头点的向量。读者可以移动红色（$\hid{\vc{u}}$）和绿色（$\hid{\vc{v}}$）向量。作为练习，试试将 $\hid{\vc{u}}$ 或 $\hid{\vc{v}}$ 之一设为零向量会怎样，也试试设置 $\hid{\vc{u}=\vc{v}}$。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$-\vc{v}$

$\vc{u}-\vc{v}$

例 2.2：长方体
在本例中，我们将看到如何使用三个彼此成直角的向量来构造一个长方体。

交互图 2.9：在本例中，有一个红色、一个绿色和一个蓝色向量。它们彼此成直角，且被约束为始终如此。不过，向量的长度可以交互地改变。接下来，我们将展示如何用这些向量构建一个长方体。

关于向量加法和标量与向量的乘法有一系列不同的运算规则，这是下一节的主题。

使用向量加法和标量与向量的乘法进行向量运算相当直观，它们的行为符合我们的预期。然而，诸如 $\vc{u}+(\vc{v}+\vc{w})=(\vc{u}+\vc{v})+\vc{w}$ 之类的规则仍需证明。向量运算的规则总结在定理 2.1 中。

定理 2.1：向量运算的性质
假设 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 是相同大小的向量，$k$ 和 $l$ 是标量，则以下规则成立：

\begin{gather} \begin{array}{llr} (i) & \vc{u}+\vc{v} = \vc{v}+\vc{u} & \spc\text{(commutativity)} \\ (ii) & (\vc{u}+\vc{v})+\vc{w} = \vc{u}+(\vc{v}+\vc{w}) & \spc\text{(associativity)} \\ (iii) & \vc{v}+\vc{0} = \vc{v} & \spc\text{(zero existence)} \\ (iv) & \vc{v}+ (-\vc{v}) = \vc{0} & \spc\text{(negative vector existence)} \\ (v) & k(l\vc{v}) = (kl)\vc{v} & \spc\text{(associativity)}\\ (vi) & 1\vc{v} = \vc{v} & \spc\text{(multiplicative one)} \\ (vii) & 0\vc{v} = \vc{0} & \spc\text{(multiplicative zero)} \\ (viii) & k\vc{0} = \vc{0} & \spc\text{(multiplicative zero vector)} \\ (ix) & k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v} & \spc\text{(distributivity 1)} \\ (x) & (k+l)\vc{v} = k\vc{v}+l\vc{v} & \spc\text{(distributivity 2)} \\ \end{array} \end{gather}

(2.6)

虽然上述大部分（或全部）规则感觉非常自然和直观，但仍需加以证明。建议读者查看证明过程，尤其是交互图示，它们能增强对许多规则的感性认识和直觉。

证明：

$(i)$ 这条规则（交换律）已在定义 2.3 的图中得到证明。另一种证明方法如下面的交互图 2.10 所示。

交互图 2.10：本交互图展示向量加法的交换律，即 $\vc{u}+\vc{v}=\vc{v}+\vc{u}$。点击/触摸前进继续。

交互图 2.10：最后，我们还在左右两侧显示了其他平移后的向量。可以看到，无论操作数的顺序如何，得到的向量和是相同的。记住，向量可以被移动。

$\textcolor{#aa0000}{\vc{u}}$

$\textcolor{#00aa00}{\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{u}+\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{v}+\vc{u}}$

$(ii)$ 这条规则（结合律）的证明如交互图 2.11 所示。

交互图 2.11：考虑三个向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$。由于向量没有特定的起点，我们将它们排列为 $\vc{v}$ 从 $\vc{u}$ 的终点开始，$\vc{w}$ 从 $\vc{v}$ 的终点开始。

交互图 2.11：考虑三个向量 $\hid{\vc{u}}$、$\hid{\vc{v}}$ 和 $\hid{\vc{w}}$。由于向量没有特定的起点，我们将它们排列为 $\hid{\vc{v}}$ 从 $\hid{\vc{u}}$ 的终点开始，$\hid{\vc{w}}$ 从 $\hid{\vc{v}}$ 的终点开始。

$\textcolor{#aa0000}{\vc{u}}$

$\textcolor{#00aa00}{\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{w}}$

$\textcolor{#00aaaa}{\vc{v}+\vc{w}}$

$\vc{u}+(\vc{v}+\vc{w})$

$\textcolor{#aaaa00}{\vc{u}+\vc{v}}$

$(\vc{u}+\vc{v})+\vc{w}$

$\vc{u}+\vc{v}+\vc{w}$

$(iii)$ 由于零向量的长度为零，根据向量加法的定义，$\vc{v}+\vc{0}$ 与 $\vc{v}$ 相同。
$(iv)$ 由于 $-\vc{v}$ 恰好是 $\vc{v}$ 的反方向，其和为零。
$(v)$ 证明思路是从等号左边出发，确定其方向和长度，然后对等号右边做同样的分析。详细过程留作读者练习。
$(vi)$ 由于 $1$ 是正数，我们知道 $1\vc{v}$ 和 $\vc{v}$ 方向相同，因此只需验证它们的长度相同。等号左边的长度为 $\abs{1}\,\ln{\vc{v}}=\ln{\vc{v}}$，右边为 $\ln{\vc{v}}$，即它们相同，从而证明了这条规则。
$(vii)$ 和 $(viii)$ 首先注意两者的区别。在 $(vii)$ 中，标量零乘以 $\vc{v}$ 等于零向量；在 $(viii)$ 中，标量 $k$ 乘以零向量等于零向量。$(vii)$ 实际上已在定义 2.4 中定义，因此只需证明 $(viii)$。$k\vc{0}$ 和 $\vc{0}$ 的长度都为零，从而证明了这条规则。
$(ix)$ 首先请读者参阅交互图 2.12。请务必按前进直到图示的最后一步。形式化证明（分配律）在图示之后给出。

交互图 2.12：本图帮助展示规则 $k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v}$。首先，我们只显示两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$，以及它们的和 $\vc{u}+\vc{v}$。按前进继续。

交互图 2.12：最后还显示了向量 $\hid{k(\vc{u}+\vc{v})}$。注意较小的三角形 $\hid{\triangle O A_1 B_1}$ 与较大的三角形 $\hid{\triangle O A_2 B_2}$ 相似，因为它们在 $\hid{A_1}$ 和 $\hid{A_2}$ 处有相同的角，且两条边 $\hid{\vc{v}}$ 和 $\hid{\vc{u}}$ 与 $\hid{k\vc{v}}$ 和 $\hid{k\vc{u}}$ 成比例。因此显然，将 $\hid{k\vc{u}}$ 和 $\hid{k\vc{v}}$ 相加就到达 $\hid{k\vc{u}+k\vc{v}}$，它与 $\hid{k(\vc{u}+\vc{v})}$ 相同。记住，你可以按住鼠标右键并移动鼠标，从另一个视角观察向量加法。在平板上通过双指滑动完成同样的操作。

$k=$

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u} + \vc{v}$

$k\vc{u}$

$k\vc{v}$

$k(\vc{u} + \vc{v})$

$O$

$A_1$

$A_2$

$B_1$

$B_2$

由标量与向量的乘法（定义 2.4）可得

\begin{align} \ln{k\vc{u}} &= \abs{k}\,\ln{\vc{u}}, \\ \ln{k\vc{v}} &= \abs{k}\,\ln{\vc{v}}, \end{align}

(2.7)

若 $k>0$，则 $\vc{u}$ 和 $k\vc{u}$ 方向相同，$\vc{v}$ 和 $k\vc{v}$ 也是如此。另一方面，若 $k<0$，则 $\vc{u}$ 和 $k\vc{u}$ 方向相反，$\vc{v}$ 和 $k\vc{v}$ 也是如此。这意味着由以下三个点 $\{O$、$O+\vc{u}$、$O+\vc{u}+\vc{v}\}$ 构成的三角形与由 $\{O$、$O+k\vc{u}$、$O+k\vc{u}+k\vc{v}\}$ 构成的三角形相似。这两个三角形相似也意味着 $O$、$O+\vc{u}+\vc{v}$ 和 $O+k\vc{u}+k\vc{v}$ 在同一条直线上。此外，由于三角形相似，根据式 (2.7)，我们知道

\begin{equation} \ln{k(\vc{u}+\vc{v})} = \abs{k}\,\ln{\vc{u}+\vc{v}}. \end{equation}

(2.8)

若 $k>0$，则 $k(\vc{u}+\vc{v})$ 与 $\vc{u}+\vc{v}$ 方向相同；若 $k<0$，则方向相反。因此 $k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v}$ 成立。若 $k=0$，则这条规则显然成立，从而完成了这条规则的证明。
$(x)$ 这与 $(ix)$ 类似但更简单，留给读者。
至此完成了定理 2.1 的全部证明。

$\square$

例 2.3：三个向量的加法
为了理解两个以上向量的向量加法如何运作，下面的交互图 2.13 展示了三个向量的加法。回顾向量加法满足结合律，因此我们可以将 $\vc{u}+\vc{v}+\vc{w}$ 写成不带括号的形式。

交互图 2.13：本交互图展示了左侧所示三个向量的加法。向量可以像往常一样移动，点击/触摸前进推进交互图。

交互图 2.13：最后，显示了黑色向量，它就是三个向量的和。记住，可以通过点击左侧向量头点附近并按住鼠标拖动来移动向量。作为练习，试着让三个向量的和为零，这样右侧会出现一个三角形。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{w}$

计算两个点的中点通常很有用。下面的定理对此进行了描述。

定理 2.2：中点公式

$A$

$B$

$M$

$O$

假设 $M$ 是连接 $A$ 和 $B$ 的线段的中点，如右图所示。假设 $O$ 是另一个点。向量 $\overrightarrow{OM}$，即从 $O$ 到 $M$，可以写为

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}). \end{equation}

(2.9)

证明：

向量 $\overrightarrow{OM}$ 是 $\overrightarrow{OA}$ 和 $\overrightarrow{AM}$ 的和

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM}. \end{equation}

(2.10)

换句话说，如果你从 $O$ 出发要到达 $M$，可以先从 $O$ 到 $A$ 再从 $A$ 到 $M$（等式右边），也可以直接从 $O$ 到 $M$（等式左边）。

若改为经由 $B$，则得到

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BM}. \end{equation}

(2.11)

将这两个方程相加得到

\begin{equation} 2\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}. \end{equation}

(2.12)

由于 $\overrightarrow{BM}$ 与 $\overrightarrow{AM}$ 等长但方向相反，必有 $\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{AM}$。将其代入上式并除以二得到

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}). \end{equation}

(2.13)

有时也会看到更简短的记法

\begin{equation} M = \frac{1}{2}(A + B) \end{equation}

(2.14)

$\square$

例 2.4：用中点公式构造 Sierpinski 三角形
我们现在展示如何用中点公式生成一种称为 Sierpinski 三角形的几何图形。假设我们有一个由三个点 $A$、$B$ 和 $C$ 构成的三角形。利用定理 2.2，可以计算每条边的中点。将这些中点连接起来可形成四个新三角形，其中中央的三角形为空。如果对每个新的非空三角形重复这一过程，就得到 Sierpinski 三角形。如下面的交互图 2.15 所示。

交互图 2.15：在本图中，我们将展示如何构造一种称为 Sierpinski 三角形的几何图形。我们从三个可移动的点 $A$、$B$ 和 $C$ 开始，将它们连接成一个三角形。

交互图 2.15：在本图中，我们将展示如何构造一种称为 Sierpinski 三角形的几何图形。我们从三个可移动的点 $\hid{A}$、$\hid{B}$ 和 $\hid{C}$ 开始，将它们连接成一个三角形。

$A$

$B$

$C$

$M_1 = \frac{1}{2}(A + B)$

$M_2 = \frac{1}{2}(B + C)$

$M_3 = \frac{1}{2}(A + C)$

例 2.5：质心公式

$A$

$B$

$C$

$A'$

$O$

$M$

$2$

$1$

$B'$

$2$

$1$

$M$

在三角形 $ABC$ 中，点 $A'$ 是 $B$ 和 $C$ 的中点。从 $A$ 到 $A'$ 的线段称为 $A$ 的中线（median）。设 $M$ 是将 $A$ 的中线按 2 比 1 的比例分割的点，如右图所示。

质心公式表明

\begin{equation} \pvec{OM} = \frac{1}{3}(\pvec{OA} + \pvec{OB} + \pvec{OC}). \end{equation}

(2.15)

该公式可以如下证明。我们可以从 $O$ 到 $M$ 直接走，或经由 $A$，因此

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA} + \pvec{AM}. \end{equation}

(2.16)

也可以经由 $A’$ 到达 $M$。这给出

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA'} + \pvec{A'M}. \end{equation}

(2.17)

其中一个假设是 $\pvec{A'M}$ 的长度为 $\pvec{AM}$ 的一半且方向相反，因此 $\pvec{A'M} = -\frac{1}{2}\pvec{AM}$ 成立。将其代入上式得到

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA'} -\frac{1}{2}\pvec{AM}. \end{equation}

(2.18)

将式 (2.16) 加上两倍的式 (2.18)，可以消去 $\pvec{AM}$

\begin{equation} \pvec{3OM} = \pvec{OA} + 2\pvec{OA'}. \end{equation}

(2.19)

由于 $A'$ 是 $B$ 和 $C$ 的中点，根据中点公式可知 $\pvec{OA'} = \frac{1}{2}(\pvec{OB} + \pvec{OC})$。将其代入上式得到

\begin{equation} \pvec{3OM} = \pvec{OA} + 2\cdot\frac{1}{2}(\pvec{OB} + \pvec{OC}), \end{equation}

(2.20)

化简得

\begin{equation} \pvec{OM} = \frac{1}{3}(\pvec{OA} + \pvec{OB} + \pvec{OC}). \end{equation}

(2.21)

证明完毕。

注意，由于公式是对称的，它对到 $B$ 的中线同样适用。同一个点 $M$ 将从 $B$ 到 $B'$ 的中线按比例 $2:1$ 分割。按交互图中的前进按钮可以看到这一点。

这个点也称为质心（center of mass）。如果将三角形从硬纸板上裁下来，这个点就是它能在铅笔尖上平衡的位置，这就是“质心”名称的由来。同样，如果在 $A$、$B$ 和 $C$ 处放置等质量的质点，$M$ 就是它们平衡的位置。

大多数读者可能已经熟悉坐标系的概念，例如下面交互图 2.17 第一步中的地图。在第一步中，坐标轴是垂直的且等长的，但这只是一种特殊情况，按前进即可看到。本节将描述一般的坐标系，以及向量、基和坐标之间的关系。

交互图 2.17：一张带有普通坐标系的地图。地图中心标记为原点，$x$ 轴显示为水平箭头，$y$ 轴显示为垂直箭头。这些坐标轴在局部类似于经度和纬度，但在全局尺度上并非如此，因为地球不是平的。按/点击前进进入下一步。

交互图 2.17：一张带有普通坐标系的地图。地图中心标记为原点，$\hid{x}$ 轴显示为水平箭头，$\hid{y}$ 轴显示为垂直箭头。这些坐标轴在局部类似于经度和纬度，但在全局尺度上并非如此，因为地球不是平的。按/点击前进进入下一步。

$x$

$y$

$x$

$y$

$x$

$y$

$x$

$y$

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

接下来，我们定义坐标如何在一维、二维和三维中描述。这通过以下一组定理来完成。

定理 2.3：一维坐标

$\vc{e}$

$\textcolor{#aa0000}{\vc{v}}$

设 $\vc{e}$ 是直线上的一个非零向量。对于该线上的每个向量 $\vc{v}$，存在唯一的数 $x$ 使得

\begin{equation} \vc{v} = x \vc{e}. \end{equation}

(2.22)

（右图中的向量 $\vc{v}$ 可以拖动。）

证明：

若 $\vc{e}$ 和 $\vc{v}$ 方向相同，则取 $x=\ln{\vc{v}}/\ln{\vc{e}}$；若 $\vc{e}$ 和 $\vc{v}$ 方向相反，则令 $x=-\ln{\vc{v}}/\ln{\vc{e}}$。最后，若 $\vc{v}=\vc{0}$，则 $x=0$。由标量与向量的乘法的定义 $x\vc{e}$ 可知，$x$ 是满足 $ \vc{v} = x\vc{e}$ 的唯一数。

$\square$

注意，我们说 $\vc{e}$ 是基向量，$x$ 是 $\vc{v}$ 在 $\{\vc{e}\}$ 的基下的坐标。

到目前为止这还不算有趣，但下一步将使它变得更加有用。

定理 2.4：二维坐标

$\vc{e}_1$

$\textcolor{#aa0000}{\vc{v}}$

$\vc{e}_2$

$O$

$P_1$

$P_2$

设 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 为两个不平行的向量（均位于同一平面内）。对于该平面内的每个向量 $\vc{v}$，存在唯一的坐标对 $(x,y)$ 使得

\begin{equation} \vc{v} = x\vc{e}_1 + y\vc{e}_2. \end{equation}

(2.23)

（图中的向量 $\vc{v}$、$\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 可以拖动。）

证明：

在本证明中，我们将使用交互图 2.19。如图所示，$P_1$ 是从 $\vc{v}$ 的头点出发、沿平行于 $\vc{e}_2$ 的方向画一条线直到与经过 $\vc{e}_1$ 的线相交而得到的。类似地，$P_2$ 是从 $\vc{v}$ 的头点出发、沿平行于 $\vc{e}_1$ 的方向画一条线直到与经过 $\vc{e}_2$ 的线相交而得到的。显然

\begin{equation} \vc{v} = \overrightarrow{O P_1} + \overrightarrow{O P_2}. \end{equation}

(2.24)

现在引入 $\vc{u} = \overrightarrow{O P_1}$ 和 $\vc{w} = \overrightarrow{O P_2}$。对 $\vc{u}$ 以 $\vc{e}_1$ 为基向量应用定理 2.3，得到 $\vc{u} = x \vc{e}_1$。类似地，对 $\vc{w}$ 以 $\vc{e}_2$ 为基向量，得到 $\vc{w} = y \vc{e}_2$。因此，向量 $\vc{v}$ 可以表示为

\begin{equation} \vc{v} = \vc{u} + \vc{w} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2. \end{equation}

(2.25)

还需证明 $x$ 和 $y$ 在 $\vc{v}$ 的表示中是唯一的。如果表示不唯一，则存在另一对坐标 $(x',y')$ 使得

\begin{equation} \vc{v} = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2. \end{equation}

(2.26)

将式 (2.25) 和式 (2.26) 联立得到

\begin{gather} x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2= x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ (x-x') \vc{e}_1 = (y'-y) \vc{e}_2. \end{gather}

(2.27)

由此得出结论：如果存在另一组表示 $(x',y')$，则 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 将是平行的（式 (2.27) 的最后一行）。例如，若 $x'$ 不同于 $x$，则 $(x-x') \neq 0$ 且两边可除以 $(x-x')$，得到

\begin{gather} \vc{e}_1 = \frac{(y'-y)}{(x-x')} \vc{e}_2, \end{gather}

(2.28)

可以表示为 $\vc{e}_1 = k \vc{e}_2$，其中 $k = \frac{(y'-y)}{(x-x')}$。然而根据定义 2.4 的推论，这意味着 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 平行，与定理 2.4 的假设矛盾。若 $y' - y \neq 0$，同样的推理也适用。因此，我们通过反证法证明了对于每个向量 $\vc{v}$，只有唯一的一对 $(x,y)$。

$\square$

注意，我们说 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 是基向量，$x$ 和 $y$ 是 $\vc{v}$ 在 $\{\vc{e}_1,\vc{e}_2\}$ 的基下的坐标。

接下来，我们将把这一结论推广到三维。

定理 2.5：三维坐标
设 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 为三个非零基向量，且不存在同时平行于这三个向量的平面。对于三维空间中的每个向量 $\vc{v}$，存在唯一的坐标三元组 $(x,y,z)$ 使得

\begin{equation} \vc{v} = x\vc{e}_1 + y\vc{e}_2 + z\vc{e}_3. \end{equation}

(2.29)

证明：

首先将所有向量 $\vc{v}$、$\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 放置为从原点出发，如交互图 2.20 所示。设 $\pi_{12}$ 为过 $O$ 且包含 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 的平面，设 $P$ 为 $\vc{v}$ 头点处的点，即 $\vc{v} = \overrightarrow{OP}$。

$O$

$P_{12}$

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

$\vc{e}_3$

$P$

$\pi_{12}$

交互图 2.20：从三个向量 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 开始，它们的尾点都放在点 $O$ 处。

交互图 2.20：总结来说，从 $\hid{O}$ 到 $\hid{P}$ 可以先到 $\hid{P_{12}}$：$\hid{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P}}$。这两项又可以用 $\hid{\overrightarrow{OP_{12}} = x\vc{e}_1 + y \vc{e}_2}$ 和 $\hid{\overrightarrow{P_{12}P} = z\vc{e}_3}$ 代换。因此 $\hid{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P} = x\vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z\vc{e}_3}$。

从 $P$ 画一条平行于 $\vc{e}_3$ 的线，它与平面 $\pi_{12}$ 交于点 $P_{12}$。现在显然可以将 $\vc{v}$ 写成和

\begin{equation} \vc{v} = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P}. \end{equation}

(2.30)

然而根据定理 2.4（二维），$\overrightarrow{OP_{12}}$ 可以写为 $\overrightarrow{OP_{12}} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2$；根据定理 2.3（一维），$\overrightarrow{P_{12}P}$ 可以写为 $\overrightarrow{P_{12}P} = z \vc{e}_3$。因此存在三个数 $x$、$y$ 和 $z$ 使得

\begin{equation} \vc{v} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z \vc{e}_3. \end{equation}

(2.31)

现在必须证明 $x$、$y$ 和 $z$ 是满足条件的唯一一组数。假设存在另一组数 $x'$、$y'$、$z'$ 也生成同一向量 $\vc{v}$，即

\begin{equation} \vc{v} = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 + z' \vc{e}_3. \end{equation}

(2.32)

将式 (2.31) 和式 (2.32) 联立得到

\begin{equation} x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z \vc{e}_3 = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 + z' \vc{e}_3. \end{equation}

(2.33)

可以改写为

\begin{equation} (x-x') \vc{e}_1 + (y-y') \vc{e}_2 + (z-z') \vc{e}_3 = 0. \end{equation}

(2.34)

如果新的一组（$x'$、$y'$、$z'$）与另一组（$x$、$y$、$z$）不同，则至少有一项非零。假设是 $(x-x')$（否则，重命名向量和标量使之成为该项）。这意味着可以除以 $(x-x')$ 得到

\begin{equation} \vc{e}_1 = - \frac{(y-y')}{(x-x')} \vc{e}_2 - \frac{(z-z')}{(x-x')}\vc{e}_3, \end{equation}

(2.35)

也可以表示为

\begin{equation} \vc{e}_1 = \alpha \vc{e}_2 + \beta \vc{e}_3, \end{equation}

(2.36)

其中 $\alpha = - \frac{(y-y')}{(x-x')}$ 且 $\beta = - \frac{(z-z')}{(x-x')}$。然而这意味着 $\vc{e}_1$ 与 $\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 位于同一平面内（见定理 2.4），这与不存在同时平行于 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 的平面的假设矛盾。因此不存在任何其他一组值 $x'$、$y'$、$z'$ 满足等式，证明完毕。

$\square$

与之前类似，我们说 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 是基向量，$x$、$y$ 和 $z$ 是 $\vc{v}$ 在 $\{\vc{e}_1,\vc{e}_2,\vc{e}_3\}$ 的基下的坐标。

现在我们终于看到了向量的坐标表示从何而来。如果假定使用某个基 $\{\vc{e}_1, \vc{e}_2, \vc{e}_3\}$，则可以将三维向量 $\vc{v}$ 写为

\begin{equation} \vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}, \end{equation}

(2.37)

其中我们用 $v_x$ 代替 $x$、$v_y$ 代替 $y$、$v_z$ 代替 $z$。这样做是为了在混合使用多个不同向量时，仍能方便地访问各分量。注意右边的表达式将向量写成三个数的列，$x$ 坐标在最上面，$y$ 坐标在中间，$z$ 坐标在最下面。这是一种非常重要的记法，因此我们将其总结为以下定义：

定义 2.5：列向量记法
给定一组基，$n$ 维空间中的列向量 $\vc{v}$（我们已使用 $n\in [1,2,3]$）是由 $n$ 个标量值组成的列。这些向量的标量分量，有时也称为向量元素，可以用编号表示，即 $v_1$、$v_2$ 和 $v_3$，也可以在更方便时使用 $x$、$y$ 和 $z$ 作为下标。记法为：

\begin{gather} \underbrace{ \vc{u} = \begin{pmatrix} u_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \end{pmatrix}}_{\text{1D vector}}, \spc\spc \underbrace{ \vc{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\text{2D vector}}, \spc\spc \\ \underbrace{ \vc{w} = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}}_{\text{3D vector}}, \end{gather}

(2.38)

其中 $\vc{u} = u_x \vc{e}_1$、$\vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2$ 且 $\vc{w} = w_x \vc{e}_1 + w_y \vc{e}_2 + w_z \vc{e}_3$。

我们还使用一种更紧凑的向量写法，在行文中使用非常方便，例如：$\vc{w} = \bigl(w_1,w_2,w_3\bigr)$，其含义与上式相同（注意向量元素之间的逗号）。

根据上述定义，列向量是本书中主要使用的向量类型。因此当我们说“向量”时，指的是“列向量”。但还有另一种类型的向量，即行向量（row vector）。顾名思义，它只是一行标量值而非一列标量值。一个行向量的例子为：

\begin{equation} \bigl(1\spc 2\spc 5 \bigr). \end{equation}

(2.39)

任何向量，无论是行向量还是列向量，都可以转置（transpose），即行向量变成列向量，列向量变成行向量。转置向量的记法为：$\vc{v}^T$。下面是一个例子：

\begin{equation} \vc{v} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}, \spc\spc\spc \vc{v}^\T = \bigl(1\spc 2\spc 5 \bigr). \end{equation}

(2.40)

我们将向量的转置总结为以下定义：

定义 2.6：向量的转置
向量 $\vc{v}$ 的转置记作 $\vc{v}^\T$，它将列向量变成行向量，将行向量变成列向量。向量分量的顺序保持不变。

注意根据此定义，对向量转置两次会得到原向量，即 $\bigl(\vc{v}^T\bigr)^T = \vc{v}$。接下来我们也总结一下行向量的定义：

定义 2.7：行向量记法
行向量用转置的列向量来表示，如下所示：

\begin{equation} \underbrace{ \vc{v}^\T = \bigl( v_x \spc v_y \bigr) }_{\text{2D row vector}}, \spc \spc \underbrace{ \vc{w}^\T = \bigl( w_x \spc w_y \spc w_z \bigr) }_{\text{3D row vector}}. \end{equation}

(2.41)

注意行向量的元素之间没有逗号。逗号保留给列向量的紧凑记法（参见定义 2.5）。

现在假设我们有两个在相同基下的向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$，即

\begin{equation} \vc{u} = u_x \vc{e}_1 + u_y \vc{e}_2 + u_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} \spc\spc \text{and} \spc\spc \vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}. \end{equation}

(2.42)

加法 $\vc{u}+\vc{v}$ 变为：

\begin{align} \vc{u}+\vc{v} &= u_x \vc{e}_1 + u_y \vc{e}_2 + u_z \vc{e}_3 + v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3 \\ &=(u_x+v_x)\vc{e}_1 + (u_y+v_y)\vc{e}_2 + (u_z+v_z)\vc{e}_3 \\ &= \begin{pmatrix} u_x+v_x \\ u_y+v_y \\ u_z+v_z \end{pmatrix}. \end{align}

(2.43)

可以看到，向量加法归结为简单的逐分量标量加法。对于标量与向量的乘法 $k\vc{v}$，有：

\begin{align} k\vc{v} &= k (v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3) \\ &= (k v_x) \vc{e}_1 + (k v_y) \vc{e}_2 + (k v_z) \vc{e}_3\\ &= \begin{pmatrix} k v_x \\ k v_y \\ k v_z \end{pmatrix}, \end{align}

(2.44)

由此可见，向量的每个分量都乘以 $k$。

例 2.6：用坐标进行向量加法和标量乘法
假设我们在同一组基下有如下向量：

\begin{equation} \vc{u} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ -4 \\ 7 \end{array} \right), \spc \spc \vc{v} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right), \spc \spc \text{and} \spc \spc \vc{w} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right), \end{equation}

(2.45)

现在我们要计算 $\vc{u} + \vc{v} - 2\vc{w}$。如上所述，向量加法只是逐元素相加：

\begin{equation} \vc{u}+\vc{v} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ -4 \\ 7 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 3+1 \\ -4+2 \\ 7+5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 12 \end{array} \right). \end{equation}

(2.46)

我们也可以用标量值缩放向量，例如 $k=2$：

\begin{equation} 2\vc{w} = 2 \left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2\cdot 2 \\ 2\cdot (-1) \\ 2\cdot 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 12 \end{array} \right), \end{equation}

(2.47)

即 $\vc{u} + \vc{v} - 2\vc{w} = \vc{0}$。

在许多计算中，人们使用一种简单直观的基，称为标准基（standard basis），定义如下。

定义 2.8：标准基
本书中二维和三维的标准基如下，即

\begin{gather} \underbrace{ \vc{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} }_{\mathrm{two-dimensional\ standard\ basis}} \ \ \mathrm{and} \\ \ \\ \underbrace{ \vc{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. }_{\mathrm{three-dimensional\ standard\ basis}} \end{gather}

(2.48)

一般来说，对于 $n$ 维的标准基，基向量 $\vc{e}_i$ 的元素全为零，只有第 $i$ 个元素为一。

在第 3 章中，我们将讨论不同类型的基，届时会看到标准基实际上是标准正交基（orthonormal basis）（3.3 节）。

例 2.7：标准基下的加法
在本例中，我们将演示如何在标准基下进行向量加法，以增强读者对加法的直觉。参见交互图 2.21。回顾一下，二维标准基向量为 $\vc{e}_1=(1,0)$ 和 $\vc{e}_2=(0,1)$。

交互图 2.21：这里在标准基下显示了两个向量。点击/触摸前进继续。

交互图 2.21：蓝色向量的坐标就是红色和绿色向量对应坐标的和。例如蓝色向量的 $\hid{x}$ 坐标就是红色和绿色向量的 $\hid{x}$ 坐标之和。记住，可以通过点击/触摸红色或绿色向量头点附近并拖动来移动向量。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u}+\vc{v}$

接下来给出两个关于坐标系、基向量、唯一性和坐标的直观例子。

例 2.8：同一点在不同基下的表示
注意，当使用不同的基向量时，同一个点会有不同的坐标，如交互图 2.22 所示。注意在图中，当基向量改变时坐标也随之改变，但点始终保持在同一位置。

交互图 2.22：这里展示了同一个点 $P$ 如何在不同坐标系中表示。在第一步中，我们有一个普通坐标系，第一个基向量 $\vc{e}_1$（粗红色箭头）和第二个基向量 $\vc{e}_2$（粗绿色箭头）成直角且等长。坐标 $(2,1)$ 意味着如果从原点出发，沿 $\vc{e}_1$ 走两步、沿 $\vc{e}_2$ 走一步，就到达 $P$。

交互图 2.22：这是另一个例子，其中 $\hid{P}$ 的坐标等于 $\hid{(3,1)}$。注意你可以移动两个基向量和 $\hid{P}$，坐标会相应调整。还要注意，如果将两个基向量放置为几乎平行，坐标就会急剧且不规则地增大。这是合理的，因为如果向量确实完全平行，则只能表示从原点沿第一个基向量（或等价的第二个基向量）延伸的直线上的点。如果它们稍有不同，则必须用很大的数来放大这一微小差异才能到达 $\hid{P}$。

$O$

$P = $

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

例 2.9：关于唯一性的直觉
回到交互图 2.22 的第二步，显然将两个基向量相加恰好得到向量 $\overrightarrow{OP}$，因此 $\overrightarrow{OP} = 1.0 \vc{e}_1 + 1.0 \vc{e}_2$ 必须成立。于是 $(1, 1)$ 是点 $P$ 的一个有效坐标对。然而，人们可能会问：既然基向量不再需要成直角，是否还有其他坐标也能描述点 $P$？答案是否定的，正如我们在定理 2.4 的证明中所见。关于为什么如此，可以从交互图 2.23 获得更多直觉。

交互图 2.23：在本交互图中，粗箭头代表基向量 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$。点 $P$ 的坐标为 $(2.5, 1.0)$，因为从原点出发，需要沿 $\vc{e}_1$（细红色箭头）走 $2.5$ 步，沿 $\vc{e}_2$（细绿色箭头）走一步才能到达 $P$。但其他坐标是否也可行？按/点击前进推进图示。

交互图 2.23：在本交互图中，粗箭头代表基向量 $\hid{\vc{e}_1}$ 和 $\hid{\vc{e}_2}$。点 $\hid{P}$ 的坐标为 $\hid{(2.5, 1.0)}$，因为从原点出发，需要沿 $\hid{\vc{e}_1}$（细红色箭头）走 $\hid{2.5}$ 步，沿 $\hid{\vc{e}_2}$（细绿色箭头）走一步才能到达 $\hid{P}$。但其他坐标是否也可行？按/点击前进推进图示。

在本章中，我们引入了向量的概念。2.5 节中向量的定义及基本运算，如向量加法（定义 2.3）和标量乘法（定义 2.4），都是通过几何方式定义的。然后我们证明了这两种运算满足定理 2.1 中的一系列性质。这种定义适用于 $\R^1$、$\R^2$ 和 $\R^3$。对于更高维度，我们难以使用几何定义。二维和三维向量的概念本身非常有用，但几何向量也是理解一般线性空间或向量空间的基石。这一更一般的理论在建模和理解具有三个以上未知参数的问题时极为有用。读者可以跳过下一节，根据需要稍后再回来阅读。

在本节中，我们首先给出 $\R^n$ 的定义。

定义 2.9：实坐标空间
向量空间 $\R^n$ 定义为 $n$ 元组 $\vc{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$，其中每个 $u_i$ 都是实数。它是实数 $\R$ 上的向量空间，其中向量加法 $\vc{u}+\vc{v}$ 定义为 $\vc{u}+\vc{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n)$，标量与向量的乘法定义为 $k\vc{v} = (k v_1, k v_2, \ldots, k v_n)$，其中 $k\in \R$。

注意，使用上述向量加法和标量与向量乘法的定义，定理 2.1 的所有性质都成立。

例 2.10：
设 $\vc{u}=(1,2,3,4,5)$ 和 $\vc{v}=(5,4,3,2,1)$ 是 $\R^5$ 中的两个向量。求 $\vc{u}+\vc{v}$、$3\vc{u}$ 和 $3\vc{u}+3\vc{v}$。

\begin{equation} \vc{u}+\vc{v} = (1,2,3,4,5) + (5,4,3,2,1) = (1+5,2+4,3+3,4+2,5+1) = (6,6,6,6,6) \end{equation}

(2.49)

\begin{equation} 3\vc{u}= 3(1,2,3,4,5) = (3 \cdot 1,3 \cdot 2,3 \cdot 3,3 \cdot 4,3 \cdot 5) = (3,6,9,12,15) \end{equation}

(2.50)

\begin{equation} 3\vc{u}+3\vc{v} = 3 (\vc{u}+\vc{v}) = 3 (6,6,6,6,6) = (18,18,18,18,18) \end{equation}

(2.51)

在最后一步中，使用了式 (2.49) 的结果（$\vc{u}+\vc{v}$）。

定义 2.10： $\R^n$ 中的基
$\R^n$ 中的基是一组向量 $\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$，使得对于每个向量 $\vc{u}\in\R^n$，存在唯一的一组坐标 $(u_1, \ldots, u_m)$ 使得

\begin{equation} \vc{u} = \sum_{i=1}^m u_i \vc{e}_i. \end{equation}

(2.52)

例 2.11： $\R^n$ 中的标准基
$\R^n$ 中的标准基是以下一组基向量

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{ll} \vc{e}_1 &= (1, 0, \ldots, 0), \\ \vc{e}_2 &= (0, 1, \ldots, 0), \\ \vdots & \\ \vc{e}_n &= (0, 0, \ldots, 1). \end{array} \end{cases} \end{equation}

(2.53)

2.6.1 一般定义

现在我们给出向量空间的抽象定义。然后将证明，任何 $\R$ 上的有限维向量空间实际上与我们之前在定义 2.9 中定义的 $\R^n$ “相同”。

定义 2.11：向量空间
向量空间由一个对象集合 $V$（称为向量）和一个域（field）$F$ 组成，并配有向量加法和标量与向量乘法的定义，使得定理 2.1 的性质成立。

向量空间由一个对象集合 $V$ 组成。我们将在一个例子中看到，向量空间是大小为 $m \times n$ 像素的图像集合。在另一个例子中，向量空间是次数不超过 $5$ 的多项式集合。域 $F$ 的元素称为标量。域是一个对象集合，其中加法、减法、乘法和除法都有良好定义且满足通常的性质。最常用的域是实数集 $\R$ 或复数集 $\mathbb{C}$，但也可以使用更特殊的域，如模素数的整数，例如 $\mathbb{Z}_3$。

例 2.12：次数不超过 2 的多项式
$x$ 中次数不超过 2 且系数为实数的多项式构成 $\R$ 上的向量空间。这里若 $u = u_0 + u_1 x + u_2 x^2$ 且 $v = v_0 + v_1 x + v_2 x^2$，其中每个系数 $u_i$ 和 $v_i$ 都是实数。此时向量加法 $u+v$ 定义为 $ u+v = (u_0+v_0) + (u_1+v_1) x + (u_2+v_2) x^2 $，标量与向量的乘法定义为 $ku = k u_0 + k u_1 x + k u_2 x^2$。

例 2.13：灰度图像
每个像素强度为实数的灰度图像构成 $\R$ 上的向量空间。这里若图像 $u$ 在位置 $(i,j)$ 的像素强度为 $u_{i,j}$，类似地若图像 $v$ 在位置 $(i,j)$ 的像素强度为 $v_{i,j}$，则向量加法定义为图像 $u+v$，其中位置 $(i,j)$ 处像素的强度为 $u_{i,j}+v_{i,j}$。标量与向量的乘法定义为图像 $ku$，其中位置 $(i,j)$ 处像素的强度为 $k u_{i,j}$。

例 2.14： $\mathbb{Z}_3$ 坐标空间
向量空间 $\mathbb{Z}_3^n$ 定义为 n 元组 $ \vc{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$，其中每个 $u_i$ 是整数 $0$、$1$ 或 $2$ 之一。它是整数 $0$、$1$ 和 $2$ 上的向量空间。向量加法 $\vc{u}+\vc{v}$ 定义为 $ \vc{u}+\vc{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n)$，标量与向量的乘法定义为 $k\vc{v} = (k u_1, k u_2, \ldots, k u_n)$。这里两个标量的乘法和加法均以模 3 进行。

定义 2.12：向量空间中的基
$F$ 上的有限维向量空间 $V$ 中的基是一组向量 $\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$，使得对于每个向量 $\vc{u} \in V$，存在唯一的一组坐标 $(u_1, \ldots, u_m)$（其中 $u_i \in F$）使得

\begin{equation} \vc{u} = \sum_{i=1}^m u_i \vc{e}_i. \end{equation}

(2.54)

基向量的数目 $m$ 称为向量空间的维数（dimension）。我们稍后将证明这对于给定的向量空间是一个确定的数。

定理 2.6：向量空间中的向量
设 $V$ 是 $\R^m$ 上的向量空间，$\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$ 是一组基。则每个向量 $\vc{u}$ 都可以用其坐标 $(u_1, \ldots, u_m)$ 来标识。

这样，可以粗略地说每个 $\R$ 上的 $m$ 维向量空间与 $\R^m$ 是“同一回事”。

本章讨论了向量的概念，引入了向量加法和标量与向量的乘法运算。此外，我们看到这些运算的行为基本符合预期，即类似于实数运算。为了使向量更加实用，引入了基的概念，并看到了如何用相对于某组基的三个标量来表示一个三维向量。最后，我们还非常简要地介绍了高维向量空间 $\R^n$ 的概念。在第 3 章中，将引入点积（dot product）运算，它在测量长度和角度时非常有用。

第 2 章：向量

2.1 点与向量

2.2 向量加法

2.3 标量与向量的乘法

2.4 向量运算的性质

2.5 向量的基与坐标

2.6 三维以上的向量空间

2.6.1 一般定义

2.7 小结

2.6.1 一般定义