第 3 章：点积

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本章介绍一个强大的工具——点积。它是计算机图形学中最基本的构建模块之一。在交互图 3.1 中，有一个称为光线追踪器的计算机图形学程序。光线追踪器的目的是生成一组几何体（下面的例子中只有球体）的图像。这些几何体由若干位于三维空间中的光源照亮。用户还需要设置一个虚拟相机，即相机位置、视野和相机方向（即它朝哪里看）。光线追踪器然后从相机位置沿相机方向，穿过相机成像平面上的一组像素发射光线。程序找到最近的几何体，并判断是否有光从光源直接到达该点（否则该点处于阴影中）。还可以追踪反射光线以创建反光物体（如交互图 3.1 中间的球体）。按下插图下方的开始按钮来试用光线追踪程序。 在上面的光线追踪程序中，点积用于计算光线与球体的交点，点积还用于测量到交点的长度（length）。此外，用于计算反射物体的反射定律也是通过点积实现的。这两个主题将在 3.7 节中，即读者了解点积原理之后再次讲解。

总的来说，点积实际上与度量有关，即如何测量向量的角度和长度。接下来先有两个关于角度和长度的简短章节，然后是本章的主要部分——定义和阐释点积，其中还包括 3.2.3 节中点积的运算法则与性质。3.3 节引入标准正交基的概念，3.4 节介绍一组常用的不等式。3.5 节展示点积的一些应用实例。之后是关于直线和平面的章节，最后是光线追踪的后续内容。

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一个向量 $\vc{u}$ 与另一个向量 $\vc{v}$ 之间的最小角记作 $[\vc{u},\vc{v}]$。右图中，向量对之间的最小角用绿色弧线表示，有一种情况用绿色正方形表示。后者的角度为 $90^\circ$ 即 $\pi/2$ 弧度，即 $[\vc{u},\vc{v}]=\pi/2$。这也记作 $\vc{u} \perp \vc{v}$，表明向量是正交（orthogonal）的，即相互垂直。注意左下角的角度为 $0$，底行中间为 $\pi$ 弧度。在这两种情况下，可以说向量是共线的，因为它们在同一条直线上，而且实际上也是平行的。左下角的向量平行且方向相同，而底行中间的向量平行但方向相反。当两个向量平行时，记作 $\vc{u}\, || \,\vc{v}$。还要注意，如果 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 平行，则必有 $\vc{v} = k \vc{u}$ 对某个 $k$ 值成立。

现在我们可以给出点积本身的定义了：

回顾第 2 章，$||\vc{v}||$ 表示向量 $\vc{v}$ 的长度。由于向量的长度始终为正，因此点积为正当且仅当 $\cos[\vc{u},\vc{v}]$ 为正。由此我们可以推导出以下关于点积的规则

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v}>0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \ 0 < [\vc{u},\vc{v}] < \pi/2,\\ \vc{u} \cdot \vc{v}<0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \ \pi/2 < [\vc{u},\vc{v}] \leq \pi, \\ \vc{u} \cdot \vc{v}=0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \vc{u} \perp \vc{v}, \mathrm{\ i.e.,\ } [\vc{u},\vc{v}]=\pi/2 \mathrm{\ or\ } \vc{u} = 0 \mathrm{\ or\ } \vc{v} = 0. \\ \end{align}

(3.2)

最后一条尤为重要：如果两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 相互正交（垂直），则 $\vc{u}\cdot \vc{v} = 0$。正如我们将在本章后面看到的，正交性是一个有用的特性，通常能简化计算。

注意点积产生的是一个标量值，因此有时也称为标量积。

3.2.1 单位向量与归一化

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单位向量（unit vector）是长度为 1 的向量，即如果 $\ln{\vc{v}}=1$ 则 $\vc{v}$ 是单位向量。从任意非零向量 $\vc{v}$ 都可以创建一个单位向量，这称为归一化（normalize）该向量，该过程称为归一化（normalization）。归一化向量 $\vc{n}$ 由 $\vc{v}$ 通过将 $\vc{v}$ 除以其长度 $\ln{\vc{v}}$ 得到，即

\begin{equation} \vc{n} = \frac{1}{\ln{\vc{v}}}\vc{v}. \end{equation}

(3.4)

接下来，我们需要证明 $\vc{n}$ 确实是单位向量，即 $\ln{\vc{n}}=1$。设 $l=1/\ln{\vc{v}}$，将 $\vc{n}$ 的长度表达式化简为 $\ln{\vc{n}} = \ln{l\vc{v}} = \abs{l}\,\ln{\vc{v}}=\frac{1}{\ln{\vc{v}}}\ln{\vc{v}}=1$。

注意，如果两个向量都已归一化，即 $\ln{\vc{u}}=\ln{\vc{v}}=1$，则点积简化为 $\vc{u} \cdot \vc{v} = \cos[\vc{u},\vc{v}]$。这一事实在计算机图形学的着色计算中非常有用，因为经常需要两个向量夹角的余弦值。事实上，交互图 3.1 中的光线追踪和着色就大量使用了归一化向量。

3.2.2 投影

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由三角学可知，在直角三角形中，一个锐角的余弦与斜边和一条较短边的长度有关。 更准确地说，表达式为

\begin{equation} \cos \theta= \frac{a}{c}, \end{equation}

(3.5)

其中 $c$ 是斜边的长度，$a$ 是与斜边成角 $\theta$ 的较短边的长度。这也在右图中进行了说明。因此在这些特定情况下，若已知两个长度 $a$ 和 $c$，就可以计算角度。反过来，若已知角度和另一条边的长度，也可以计算某一边的长度。

假设要将向量 $\vc{u}$ 正交投影到另一个向量 $\vc{v}$ 上，以产生新向量 $\vc{w}$。这在右图中进行了说明。由于 $\vc{u}$ 和 $\vc{w}$ 构成一个含直角的三角形，因此必有 $\cos [\vc{u},\vc{v}] = \ln{\vc{w}} / \ln{\vc{u}}$，这只是上面式 (3.5) 的应用。这意味着 $\vc{w}$ 的长度为 $\ln{\vc{w}} = \ln{\vc{u}}\cos [\vc{u},\vc{v}]$。如果 $\vc{v}$ 的长度为 1，即 $\ln{\vc{v}}=1$，则投影向量可以计算为

\begin{equation} \vc{w} = \ln{\vc{w}}\ \vc{v} = \ln{\vc{u}} \cos [\vc{u},\vc{v}]\ \vc{v}. \end{equation}

(3.6)

要验证 $\ln{\vc{w}}\vc{v}$ 确实等于 $\vc{w}$，注意它既有正确的方向（即 $\vc{v}$ 的方向，因为 $\ln{\vc{w}}$ 只是标量），又有正确的长度（即 $\ln{\vc{w}}$，因为 $\vc{v}$ 的长度为 1）。然而，我们也希望能处理 $\vc{v}$ 的长度不为 1 的情况。这可以通过归一化向量 $\vc{v}$ 来实现，即将其乘以 $\frac{1}{\ln{\vc{v}}}$ 使其长度变为 1。如果在上面的式 (3.6) 中将 $\vc{v}$ 替换为 $\frac{1}{\ln{\vc{v}}}\vc{v}$，可得

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\ln{\vc{u}} \cos [\vc{u},\vc{v}]}{\ln{\vc{v}}} \vc{v}. \end{equation}

(3.7)

这里利用了归一化不改变方向的事实，因此可以继续使用 $\cos[\vc{u},\vc{v}]$ 代替 $\cos[\vc{u}, \frac{\vc{v}}{\ln{v}}]$。接下来，将分子和分母同时乘以 $\ln{\vc{v}}$，即可得到一般的正交投影（orthogonal projection）公式

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\ln{\vc{u}}\ \ln{\vc{v}} \cos [\vc{u},\vc{v}] }{ \ln{\vc{v}}^2 } \vc{v}. \end{equation}

(3.8)

最后这一步的原因在于，分子 $\ln{\vc{u}}\ \ln{\vc{v}} \cos[\vc{u},\vc{v}]$ 恰好等于点积的定义。因此可以将公式写得更简洁

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\vc{u} \cdot \vc{v} }{ \ln{\vc{v}}^2 } \vc{v}. \end{equation}

(3.9)

至此我们证明了以下公式：

3.2.3 运算法则与性质

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借助定义和投影公式，可以推导出以下法则：

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定理 3.1 中的法则是直观的，因为它们与标量加法和标量乘法的法则相同。在 3.5 节中，将通过若干实例展示如何使用这些法则。

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本节将介绍一种计算点积的简便方法。假设我们有两个三维向量 $\vc{u} = (u_1, u_2, u_3)$ 和 $\vc{v} = (v_1, v_2, v_3)$，在同一基下表示为

\begin{align} \vc{u} & = u_1 \vc{e}_1 + u_2 \vc{e}_2 + u_3 \vc{e}_3,\\ \vc{v} & = v_1 \vc{e}_1 + v_2 \vc{e}_2 + v_3 \vc{e}_3. \end{align}

(3.20)

点积 $\vc{u} \cdot \vc{v}$ 现在可以写为

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v} & = (u_1 \vc{e}_1 + u_2 \vc{e}_2 + u_3 \vc{e}_3) \cdot (v_1 \vc{e}_1 + v_2 \vc{e}_2 + v_3 \vc{e}_3),\\ \end{align}

(3.21)

展开后得到

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v} & = u_1 v_1 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_1 + u_1 v_2 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_2 + u_1 v_3 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_3 \\ & + u_2 v_1 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_1 + u_2 v_2 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_2 + u_2 v_3 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_3 \\ & + u_3 v_1 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_1 + u_3 v_2 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_2 + u_3 v_3 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_3. \end{align}

(3.22)

这看起来很长且复杂。然而，假设当 $i \neq j$ 时 $\vc{e}_i \cdot \vc{e}_j$ 为 $0$。这等价于每条基轴都与其他所有基轴正交。这样，除三项外的所有项都会消失。再进一步假设对所有 $i$ 有 $\vc{e}_i \cdot \vc{e}_i = 1$。这等价于每个基向量的长度为 1。剩余各项也可以进一步化简，得到

\begin{equation} \vc{u} \cdot \vc{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3. \end{equation}

(3.23)

现在我们可以在任意维度上定义标准正交基了。

我们还将简化的点积推广到任意维度的向量：

注意上面使用了两种不同的向量分量索引方式，例如，回忆 $\vc{v}=(v_1, v_2, v_3) = (v_x, v_y, v_z)$。

对于 $\R^1$、$\R^2$ 和 $\R^3$ 中的向量，角度有自然的几何含义。我们用这一概念，按照（定义 3.1）来定义标量积。如果基是标准正交的，便可得到上述计算标量积的简化公式 $\vc{u} \cdot \vc{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 $。对于高维空间中的向量，角度不存在自然的定义。在标准正交基的情况下，解决方法是利用定义 3.4 中标量积的简化公式，从标量积反推角度的概念。这样，两个非零向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 之间的角度定义如下。

现在用一个简单的例子来说明点积的简化计算方式（定义 3.4）是如何运作的：

为了对点积有更直观的感受，建议读者尝试操作下方的交互图 3.8。

3.3.1 标准正交基中的向量长度

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正如我们已经看到的，在标准正交基中表示向量可以简化点积的计算。在本节中，我们将看到它同样简化了向量长度（记作 $\ln{\vc{v}}$）的计算。长度也称为模和范数。

回忆定理 3.1 中的法则 $(iv)$，即 $\vc{v}\cdot\vc{v} = \ln{\vc{v}}^2$。如果向量在标准正交基中的坐标为 $(v_x, v_y)$，我们可以使用简化公式（定义 3.4）计算点积，得到 $\ln{\vc{v}}^2 = v_x^2 + v_y^2$。在右边的上图中，我们画出了向量 $\vc{v}$。由于 $v_x$ 和 $v_y$ 是 $\vc{v}$ 的坐标，它们也等于虚线线段的长度。注意这个图与下方的三角形类似，其中 $c = \ln{\vc{v}}$、$a = v_x$ 且 $b = v_y$。因此表达式 $\ln{\vc{v}}^2 = v_x^2 + v_y^2$ 就是勾股定理的一个证明，该定理说的是 $c^2 = a^2 + b^2$。

因此，标准正交基中向量的长度可以按如下方式计算

\begin{equation} \ln{\vc{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}. \end{equation}

(3.32)

类似地，对于标准正交基中的三维向量 $\vc{v} = (v_x, v_y, v_z)$，点积 $\vc{v} \cdot \vc{v} = \ln{\vc{v}}^2$ 可以计算为 $v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$，因此向量长度的计算方式为

\begin{equation} \ln{\vc{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}. \end{equation}

(3.33)

在这种情况下同样可以利用勾股定理从几何上解释该公式为何正确，如交互图 3.10 所示。 注意，了解向量被缩放因子 $k$ 缩放时其长度如何变化通常很有用。利用点积的定义，我们得到

\begin{equation} (k\vc{v})\cdot(k\vc{v}) = \ln{k\vc{v}}\,\ln{k\vc{v}}\cos[k\vc{v},k\vc{v}] = \ln{k\vc{v}}^2. \end{equation}

(3.34)

也可以两次使用法则 $(ii)$ 来得到

\begin{equation} (k\vc{v})\cdot(k\vc{v}) = k ( \vc{v}\cdot(k\vc{v})) = k(k(\vc{v}\cdot\vc{v})) = k^2 \ln{\vc{v}}^2. \end{equation}

(3.35)

因此，我们有

\begin{equation} \ln{k\vc{v}}^2 = k^2 \ln{\vc{v}}^2, \end{equation}

(3.36)

由此得到

\begin{equation} \ln{k\vc{v}} = \abs{k}\, \ln{\vc{v}}. \end{equation}

(3.37)

注意只有零向量的长度为零，即 $\ln{\vc{0}} = 0$，且当 $\vc{v}\neq\vc{0}$ 时 $\ln{\vc{v}}>0$。

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以下是数学中一些非常有用的不等式。它们被放在点积一章中，因为利用点积的定义很容易证明它们。

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另一个相关的不等式是下面的三角不等式（triangle inequality）。

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注意三角不等式从几何上很容易理解，如右图所示。从图中可以清楚地看出 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的长度之和必须大于或等于 $\vc{u}+\vc{v}$ 的长度。事实上，等号仅在 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 平行且方向相同时成立。建议读者移动 $\vc{u}$ 向量使其出现这种情况。

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在本节中，我们将展示一些有用的例子，并指出得到结果时使用了哪些法则。法则标注在等号上方，例如

\begin{equation} \vc{a} \cdot (\vc{a}+\vc{b}) \overset{(iii)}{=} \vc{a} \cdot \vc{a} + \vc{a} \cdot \vc{b}, \end{equation}

(3.48)

表示使用了法则 $(iii)$（定理 3.1）来得到等号右边的结果。接下来是一个推导平行四边形定律的例子。

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直线和平面是非常常见和重要的几何实体，在许多场景中都很有用，例如判断从虚拟眼睛穿过像素中心发出的射线（即一条直线）是否与几何物体（如球体）相交。更广泛地说，直线和平面常用于计算几何、计算机视觉、计算机图形学、计算机辅助设计（CAD）等领域。

3.6.1 直线

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本书主要使用直线，因此通常简称为线。一条直线可以由一个起点 $S$ 和一个方向 $\vc{d}$ 来描述，如右图所示。为了描述一条直线，有一种能找到线上所有点的表示法会很方便。首先，从右边的点 $P$ 开始，创建一个从 $S$ 到 $P$ 的向量，即 $\overrightarrow{SP}$。如果 $P$ 位于由 $S$ 和 $\vc{d}$ 描述的直线上，则 $\overrightarrow{SP}$ 必须平行于 $\vc{d}$。事实上，必须存在一个标量 $t_1$ 使得 $t_1\vc{d}$ 与 $\overrightarrow{SP}$ 具有完全相同的长度，表示为

\begin{equation} \overrightarrow{SP} = t_1 \vc{d}. \end{equation}

(3.55)

由于 $P$ 位于 $\vc{d}$ 的方向上，我们也知道 $t_1>0$。对于同样在直线上的 $Q$，存在另一个标量 $t_2$ 满足：$\overrightarrow{SQ} = t_2 \vc{d}$。由于 $Q$ 位于 $\vc{d}$ 的反方向，显然 $t_2<0$。而对于 $R$，则不存在标量 $t_3$ 满足类似的关系。即对于所有 $t_3$ 的值，$\overrightarrow{SR} \neq t_3 \vc{d}$。$P$ 和 $Q$ 的唯一区别在于它们使用不同的标量 $t_1$ 和 $t_2$。因此，直线上的任意一点都可以用一个特定的标量 $t$ 来描述。因此，我们用 $P(t)$ 表示一个关于标量 $t$ 的函数，它返回一个点 $P$。也就是说，不同的 $t$ 值会生成不同的点 $P$。这个表达式可以改写为

\begin{gather} \overrightarrow{SP(t)} = t\vc{d} \\ \Longleftrightarrow \\ P(t) - S = t\vc{d} \\ \Longleftrightarrow \\ P(t) = S + t\vc{d}. \end{gather}

(3.56)

注意直线上的每个点 $P(t)$ 都可由从 $S$ 出发并加上缩放后的方向向量 $t\vc{d}$ 得到 $P(t)$。例如：$P(0) = S$、$P(1) = S + \vc{d}$ 和 $P(-2.5) = S -2.5\vc{d}$。这种参数化直线总结在以下定义中。

通常说上面的直线是显式形式，这意味着直线上的点 $P(t)$ 可以直接从表达式生成。一维、二维和三维的显式直线可以在下方的交互图 3.15 中找到。 注意对直线方程 $P(t)-S = t\vc{d}$ 的两边取长度，得到 $\ln{P(t)-S} = \ln{t\vc{d}}$。当直线方向是归一化的，即 $\ln{\vc{d}}=1$ 时，$\abs{t} = \ln{P(t)-S}$。这在计算交点时非常有用，例如直线与球体的交点，详见 3.7 节。

回忆二维点 $S$ 有两个标量分量 $(s_x, s_y)$，类似地，二维向量 $\vc{d}$ 有两个标量分量 $(d_x,d_y)$。现在注意，二维直线 $P(t)=S + t\vc{d}$ 可以用向量和点的标量分量表示为

\begin{equation} P(t) = S + t\vc{d} \ \ \ \Longleftrightarrow \begin{cases} p_x(t) = s_x + td_x,\\ p_y(t) = s_y + td_y. \end{cases} \end{equation}

(3.58)

下面预览一下第 5 章关于高斯消元法（Gaussian elimination）的内容。将上面一行乘以 $d_y$，下面一行乘以 $d_x$。为清晰起见，$p_x$ 和 $p_y$ 中的参数 $t$ 被省略，得到

\begin{equation} \begin{cases} p_x d_y = s_x d_y + d_x d_y t,\\ p_y d_x = s_y d_x + d_x d_y t. \end{cases} \end{equation}

(3.59)

由代数知识可知，只要在等式两边同时减去相同的项就是合法的。因此，可以从上面一行减去下面一行，得到

\begin{equation} p_x d_y - p_y d_x = s_x d_y - s_y d_x + d_x d_y t - d_x d_y t = s_x d_y - s_y d_x \\ \Longleftrightarrow \\ d_yp_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0, \end{equation}

(3.60)

可以看到，$t$ 项已从表达式中消失。这可以进一步改写为

\begin{equation} d_y p_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0 \\ \Longleftrightarrow \\ a p_x + b p_y + c = 0, \end{equation}

(3.61)

其中 $a=d_y$、$b=-d_x$ 且 $c=s_y d_x - s_x d_y$。这个方程可能对一些读者来说很熟悉，特别是当我们令 $x=p_x$ 且 $y=p_y$ 时，得到

\begin{equation} a x + b y + c = 0. \end{equation}

(3.62)

当 $b\neq 0$ 时，可以进一步将上述表达式改写为 $y =(-ax -c)/b=$ $kx+m$，其中 $k=-a/b$ 且 $m=-c/b$。这种直线表达式对大多数人来说一定很熟悉，其中 $k$ 描述当 $x$ 增加 1 时 $y$ 的变化量，$m$ 是 $x=0$ 处的 $y$ 值。然而要注意，$a x + b y + c = 0$ 是二维直线更一般的描述，因为它也能描述竖直直线，而 $y=kx+m$ 则做不到。

重要的是注意直线的隐式形式 $a p_x + b p_y + c = 0$ 和直线的显式形式 $P(t) = S + t\vc{d}$ 描述的是完全相同的直线，因为前者是从后者推导出来的。接下来我们将说明，如果基是标准正交的，显式形式可以用点积来改写。为此，我们引入 $\vc{n} = (n_x,n_y) = (a,b) = (d_y,-d_x)$，得到

\begin{equation} d_y p_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0 \\ \Longleftrightarrow \\ \vc{n} \cdot (P - S) = 0, \end{equation}

(3.63)

其中 $P=(p_x, p_y)$ 且 $S=(s_x, s_y)$。这里利用了在标准正交基中描述向量时 $(d_y, -d_x) \cdot (p_x, p_y) = d_y p_x + (-d_x) p_y$ 这一事实，如定理 3.4 所述。可以看到，如果我们取从 $S$ 到直线上任意一点 $P$ 的向量，则其与 $\vc{n}$ 的点积必须为零，$P$ 才在直线上。有趣的是，我们看到 $\vc{n}\cdot\vc{d} =$ $(d_y,-d_x)\cdot (d_x,d_y) = $ $d_y d_x - d_x d_y = $ $0$，即 $\vc{n}$ 与直线方向 $\vc{d}$ 正交。因此，$\vc{n}$ 通常称为直线的法向量（normal）。还要注意，$\vc{n} \cdot (P - S) = 0$ 被称为隐式形式，因为它不能直接生成直线上的点。但它可以直接检验一个点 $P$ 是否在直线上。

这引出了以下二维直线隐式形式的定义。

需要注意，定义 3.7 在非正交基的情况下仍然成立。也就是说，直线仍可写为 $\vc{n} \cdot (P-S) = 0$，其中 $\vc{n}$ 是直线的法向量。然而，计算 $\vc{n}$ 的坐标不再简单，因为一般情况下它不再等于 $\vc{n} = (d_y, -d_x)$。

如上所述，二维直线有两种不同的数学表示。一维或三维直线则不能这样同时写成显式和隐式形式。然而，如 3.6.2 节所示，三维平面方程也有类似的两种表示——隐式和显式。

回到形如 $\vc{n} \cdot (P - S) = 0$ 的二维直线，它表明直线上的所有点 $P$（由 $S$ 和 $\vc{d}$ 表示）都满足上述表达式，即点积等于零。如果 $P$ 不在直线上会怎样？当然点积不会为零，但能否从结果中读出更多信息？事实证明，这个结果可能非常有用。为此，定义一个关于 $P$ 的标量函数 $e$ 为

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S). \end{equation}

(3.65)

这个函数有时称为边方程（在计算机图形学中）或有符号距离函数（本节稍后解释）。由于 $e(P)$ 使用点积定义，由 3.4 节可知当夹角满足 $[\vc{n}, P-S] < \pi/2$ 时 $e(P)$ 为正，当 $[\vc{n}, P-S] > \pi/2$ 时 $e(P)$ 为负，仅当 $[\vc{n}, P-S] = \pi/2$ 时 $e(P)=0$。然而 $e(P)=0$ 也意味着 $P$ 在由 $S$ 和 $\vc{d}$ 定义的直线上。因此，当 $e(P)>0$ 时，我们说 $P$ 在直线的正半空间内；当 $e(P)<0$ 时，$P$ 在负半空间内。也就是说，直线将整个二维平面分为两个半空间。如交互图 3.16 所示。 借助定义 3.1（点积），式 (3.65) 可以改写为

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S) = \ln{\vc{n}}\, \ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]. \end{equation}

(3.66)

注意 $\ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]$ 实际上是 $P$ 到直线的正交距离，但需要注意这个“距离”是有符号的。这意味着如果 $P$ 在正半空间内，则有符号距离为正；如果 $P$ 在负半空间内，则有符号距离为负。还要注意，如果 $\vc{n}$ 是归一化的，则 $e(P)$ 恰好是有符号正交投影距离函数，即 $e(P) = \ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]$。

3.6.2 平面

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三维（及更高维）中的平面类似于二维中的直线，都将其所在空间分为两个半空间。在 3.6.1 节中，我们看到二维直线将 $xy$ 平面分为正半空间和负半空间。与二维直线类似，平面也有两种表示（隐式和显式）。

要以显式形式定义平面（即类似于直线的 $P(t) = S + t\vc{d}$），需要一个起点 $S$ 和两个方向向量 $\vc{d}_1$ 和 $\vc{d}_2$。方向向量不能共线，即对所有 $k$ 的值均有 $\vc{d}_1 \neq k \vc{d}_2$。换句话说，方向向量不能平行，即使方向相反也不行。两个方向向量都在平面内。因此，如果一个点 $P$ 要在平面上，必须满足

\begin{equation} \overrightarrow{SP} = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2, \end{equation}

(3.70)

对于某些标量 $t_1$ 和 $t_2$ 的值。与直线类似，这个表达式可以改写为如下形式，其中两个标量 $t_1$ 和 $t_2$ 被设为 $P$ 的参数，即

\begin{gather} \overrightarrow{SP(t_1,t_2)} = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ P(t_1, t_2) - S = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ P(t_1, t_2) = S + t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2. \\ \end{gather}

(3.71)

这种形式也在右图中展示。可以看到，这与向量加法非常相似。方向向量 $\vc{d}_1$ 和 $\vc{d}_2$ 分别被 $t_1$ 和 $t_2$ 缩放。所得向量与起点 $S$ 相加。这引出了以下定义。

有趣的是，平面方程也有隐式形式。首先将平面方程按分量形式写出，如下所示，其中 $d_{1,y}$ 表示 $\vc{d}_1$ 的 $y$ 分量，依此类推。

\begin{equation} P(t_1, t_2) = S + t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \begin{cases} p_x(t_1,t_2) = s_x + t_1 d_{1,x} + t_2 d_{2,x},\\ p_y(t_1,t_2) = s_y + t_1 d_{1,y} + t_2 d_{2,y},\\ p_z(t_1,t_2) = s_z + t_1 d_{1,z} + t_2 d_{2,z}. \end{cases} \end{equation}

(3.73)

回忆对于二维直线，参数化直线 $P(t)=S+t\vc{d}$ 可以通过消去 $t$ 变换为隐式形式的直线 $\vc{n}\cdot (P-S)$。同样的方法可以应用于上面的式 (3.73)，其中 $t_1$ 和 $t_2$ 都可以被消去。这可以用高斯消元法来实现，第 5 章中有一个相关的例子。这里我们直接说明上面的式 (3.73) 可以变换为

\begin{equation} \vc{n} \cdot (P - S) = 0, \end{equation}

(3.74)

关于 $t_1$ 和 $t_2$ 的消去过程，请参阅第 5 章了解更多细节。注意 $\vc{n}$ 是平面的法向量，即它垂直于平面内的任意向量。$\vc{n}$ 与 $\vc{d}_1$ 和 $\vc{d}_2$ 之间也存在一种关系。这就是叉积（cross product），它是第 4 章的主题。

与直线的情况完全一样，我们也可以创建有符号距离函数

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S), \end{equation}

(3.76)

其中当 $P$ 位于平面上时 $e(P)=0$。此外，当 $P$ 与点 $S+\vc{n}$ 位于平面的同侧时 $e(P)>0$，该侧称为正半空间。类似地，若 $e(P)<0$，则 $P$ 与点 $S-\vc{n}$ 位于平面的同侧。空间的另一部分称为负半空间。

接下来是一个同时使用直线方程和平面方程的例子。

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在本章引言（3.1 节）中，交互图 3.1 展示了一个称为光线追踪器的图形程序。一旦掌握了线性代数的相关知识，编写这样一个程序就相当简单。光线追踪器的核心是一个可见性函数，用于确定光线能“看到”哪个物体。 右边展示了一个例子。在光线追踪器中，创建一个具有位置和朝向的虚拟观察者。光线追踪器从该位置沿该方向计算图像。右侧蓝色光线的起点就是观察位置。然后生成一组光线。在最简单的情况下，图像平面中每个像素创建一条光线。接下来由光线追踪程序检查场景中的相关物体，计算穿过像素的光线是否击中物体，并找到最近的物体。对于图 3.21 中的光线，可以看到它击中了三个圆中的两个。但由于黄色圆更近，该像素被着色为黄色。而上方像素对应的光线穿过该像素后会击中绿色圆，因此该像素被着色为绿色。为了生成带有阴影、反射和折射的图像，可以从黄色圆与光线的第一个交点发射更多光线。

本节将展示两个与光线追踪相关的例子。第一个展示如何计算三维光线与三维球体之间的交点。第二个例子展示如何在已知法线的表面上反射一个向量。这两个例子都将点积作为主要工具。