第 7 章：行列式

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行列式是从矩阵 $\mx{A}$ 到值 $\det(\mx{A})$ 的函数。我们稍后将会看到，行列式可以用三条简单性质来定义。不过，在深入细节之前，我们先看一维、二维和三维行列式的显式表达式。 对于 $1 \times 1$ 矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{r} a \end{array} \right) \end{equation}

(7.3)

行列式就是 $\det(\mx{A}) = a$。 这就是向量的带符号 长度。

\begin{equation} \vc{a} = \left( \begin{array}{r} a \end{array} \right) . \end{equation}

(7.4)

这里很容易看出，当 $\det(\mx{A}) = a \neq 0$ 时方程 $ \mx{A} \vc{x} = \vc{b} $ 有唯一解。 当行列式为零时，若 $\vc{b} \neq \vc{0}$，则可能无解。 以 $1\times 1$ 矩阵为例，即方程化为 $ax=b$ 的情形，设 $a=0$ 时 $a x = 3$ 无解。 若 $b = 0 $，则有无穷多解 $x$，因为方程现在变为 $0 x = 0$。

对于 $2 \times 2$ 矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right) \end{equation}

(7.5)

行列式为 $\det(\mx{A}) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$。 行列式有时用左右各一条直 线 作为括号来书写，因此上式可写为

\begin{equation} \det(\mx{A}) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} . \end{equation}

(7.6)

若将两列视为 平面 中两个向量的坐标，即

\begin{equation} \mx{A} = \begin{pmatrix} \vc{a}_{,1} & \vc{a}_{,2} \end{pmatrix} \end{equation}

(7.7)

则行列式是由 $\vc{a}_{,1}$ 和 $\vc{a}_{,2}$ 张成的 平行四边形 的带符号面积。 回顾 定义 6.2 中列向量与 行向量 的记法。 这在 交互图 7.2 中可视化。 若两向量正（负）定向，则行列式符号为正（负）。交互图中用绿色（红色）平行四边形 示意。试着在交互图中改变行列式的符号。

对于 $3 \times 3$ 矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \end{equation}

(7.8)

行列式为 $\det(\mx{A}) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}$。 若将三列视为空间中三个向量的坐标，即

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rrr} \vc{a}_{,1} & \vc{a}_{,2} & \vc{a}_{,3} \end{array} \right) \end{equation}

(7.9)

则行列式是由 $\vc{a}_1$、$\vc{a}_2$ 和 $\vc{a}_3$ 张成的 平行六面体 的带符号体积。 在 交互图 7.3 中，可视化了由 $\vc{a}_{,1}$、$\vc{a}_{,2}$ 和 $\vc{a}_{,3}$ 张成的 平行六面体 的带符号体积。

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以下我们将记法稍作放宽，使得矩阵 $\mx{A}$ 的 列向量 $\vc{a}_{,i}$ 也可记作 $\vc{a}_i$。 定义行列式的方式有多种。 采用哪种定义只是技术细节，最终结果相同。 这里我们根据下列定义，用三条基本性质为一般 $n \times n$ 矩阵 $\mx{A}$ 定义行列式。

结果表明，满足这三条性质的函数有且仅有一个。 行列式存在性与唯一性的证明有些 技术性，其重要性不如行列式的性质本身。 为免遮蔽主线，我们将这些证明留到 7.3 节。 由这三条基本性质可推出许多其他有用性质，我们 将其汇总于 定理 7.1。

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表面上看，性质 $(vi)$ 似乎有违直觉，因为行列式与 列向量 张成的面积或体积相关，而给某个 列向量 加上某个量会使它变长。为何其中一个向量变长了，面积却保持不变？原因见 交互图 7.4。 上面的定义与规则可用于计算行列式。下面给出一个例子。

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本节包含证明：确实存在满足 定义 7.1 中性质的函数，且这样的函数只有一个，并给出计算行列式的公式。为完成该证明，我们需要引入 $n$ 个数的置换概念。 置换的主要思想其实很简单，最好通过在一个一般 $2 \times 2 $ 矩阵上使用性质 $(i)-(vi)$ 来举例说明。

在本例中，我们通过展开每一列计算了 $2 \times 2$ 行列式。 对一般 $n \times n$ 矩阵做同样操作，可得行列式的显式表达式。 该表达式最好用 $n$ 个数的置换概念来表达。

置换 $p$ 由其作用在集合上的方式指定，即由数 $p(1), p(2), \ldots, p(n)$ 指定。 由于 $p$ 是双射，每个数 $\{ 1, 2, \ldots, n \}$ 在列表 $p(1), p(2), \ldots, p(n)$ 中恰好出现一次。 换言之，这些数被重新排列或置换。有时使用记号 $p = [p(1), p(2), \ldots, p(n)] $。

若 $p$ 是 $n$ 个元素的置换，则有 ${n \choose 2}$ 对数 $(p(i),p(j))$。其中有些顺序正确，即 $((p(i),p(j))$ 与 $(i,j)$ 的顺序相同。另一方面，若 $(p(i),p(j))$ 与 $(i,j)$ 相比顺序错误，则该对称为 逆序。

此处 $\circ$ 用于表示复合，即 $p \circ q$ 是先按 $q$ 置换再按 $p$ 置换所得的置换。（更一般地，复合用于组合两个函数。复合函数 $f = g \circ h$ 满足 $f(x) = g(h(x))$，即先使用函数 $h$，再对其结果使用 $g$。） $n$ 个元素的置换 $p$ 可表示为 $n \times n$ 矩阵 $\mx{E}_p$，使得 $\mx{E}_p$ 除元素 $(p(1),1), (p(2),2) \ldots, (p(n),n)$ 外均为零。这些元素设为 1。$\mx{E}_p$ 的行列式特别容易计算。我们有 $\det(\mx{E}_p) = \sigma(p)$。 我们现在可以陈述一个定理，它给出一般维数下行列式的显式公式。

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因此，阶数为 $1$、$2$ 和 $3$ 的行列式分别包含 $1$、$2$ 和 $6$ 项，与前例一致。 记住 $2 \times 2$ 行列式有一些相对简便的规律。写出矩阵并想象一个十字形：将对角线上的元素相乘，再减去另一对角线上元素的乘积，如下面的图示。

\begin{equation} \begin{array}{cccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\, - \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow & \,\,\,\,\,\,\,\, \swarrow \\ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}, \end{equation}

(7.34)

即 $a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$。 对于 $3 \times 3$ 矩阵，也有可用来记忆行列式的规律。按下列方式将矩阵的列 $\vc{a}_1$、$\vc{a}_2$ 和 $\vc{a}_3$ 各重复排列一次，

\begin{equation} \begin{array}{cccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!+ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - &\,\, - & - \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow & \!\swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{11} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{12} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{21} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{22} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{31} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{32} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{33} \\ \end{array} \end{equation}

(7.35)

即 $+a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31}.$ 但应注意，对于更大的矩阵计算行列式，不存在类似的简便规律；例如，$4 \times 4$ 矩阵的行列式就没有简便规律。 还要注意，项数增长很快：例如，$4 \times 4$ 阶矩阵有 $24$ 项，$5 \times 5$ 矩阵有 $120$ 项。

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本节我们给出关于转置矩阵、矩阵乘积以及逆矩阵的行列式的定理。

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利用 定理 7.5，我们可以证明下列有用结论。

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在 交互图 7.5 中，定理 7.6 对 $2\times 2$ 矩阵作了展示。 例如，若使 $\mx{A}$ 的 平行四边形 面积变小，则 $\mx{A}^{-1}$ 的 平行四边形 面积变大，反之亦然。

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本节首先给出 子式 的定义，它是可从方阵计算出的一个标量值。

这些行列式常称为矩阵的 子式 或余子式。

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若某行或某列含大量零，则按该行或该列展开尤其有用。下面的例子说明了这一点

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本节我们将引入方阵 $\mx{A}$ 的 伴随矩阵 $\adj( \mx{A} )$。

注意在定义中我们用的是 $D_{ji}$ 而不是 $D_{ij}$。

伴随矩阵通过下列定理与逆矩阵密切相关。

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本节将介绍克拉默法则。当你想求 $\mx{A}\vc{x}=\vc{y}$ 的解 $\vc{x}$ 而不必知道 $\mx{A}$ 的逆矩阵时，它很有用。

换言之，将 $\mx{A}$ 中的第 $i$ 列替换为右端项 $\vc{y}$，然后计算该矩阵的行列式并除以 $\mx{A}$ 的行列式，我们直接得到解向量 $\vc{x}$ 的第 $i$ 个坐标。 这简直易如反掌。

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在 交互图 7.6 中，我们用克拉默法则求方程组 $\mx{A}\vc{z}=\vc{b}$ 中的 $\vc{z}$。

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