第 8 章：秩

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向量空间的 线性子空间是其中一组向量构成的子集，它本身也是一个 线性空间。要证明 线性空间的某个子集是 线性子空间，只需验证三件事。下列定理对此作了概括。

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这意味着 齐次方程组 的解构成一个 线性 空间。

这意味着一组向量的 线性组合 全体构成一个 线性 空间。

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如我们在 5.5 节 中所见， 形如 $\mx{A}\vc{x} = \vc{0}$ 的方程组称为 齐次 方程组。下面我们将说明此类方程组的解揭示了 $\mx{A}$ 的若干有用性质。先从一例开始。 假设我们有一个矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \begin{pmatrix} 2 & \hid{-}5 & \hid{-}3 \\ 4 & \hid{-}2 & \hid{-}1 \\ 2 & -3 & -2 \end{pmatrix}, \end{equation}

(8.1)

且希望求解 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$，其中 $\vc{x} = (x_1, x_2, x_3)$ 是 列向量。 这与 式 (5.34) 中的例子相同，即

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 x_1 + 5 & \bs x_2 + 3 & \bs x_3 = 0, \\ 4 x_1 + 2 & \bs x_2 +\hid{3}& \bs x_3 = 0, \\ 2 x_1 - 3 & \bs x_2 - 2 & \bs x_3 = 0, \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(8.2)

经过 高斯消元法 的计算，我们得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 x_1 + 5 & \bs x_2 + 3 & \bs x_3 = 0, \\ 8 & \bs x_2 + 5 & \bs x_3 = 0, \\ & & \bs 0 = 0. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(8.3)

下一步是令 $x_3=t$，这意味着 $x_2=-\frac{5}{8}t$，最后 $x_1=\frac{1}{16}t$，即

\begin{equation} \vc{x}(t) = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{16}t \\ -\frac{5}{8}t \\ t \end{pmatrix} \end{equation}

(8.4)

可以看出，解是一条 直线，它 仅依赖于一个可变参数 $t$。有时解记为 $\vc{x}_\mathrm{h}$，以表明 它是 齐次 方程组 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 的解。 这整个解集称为 $\mx{A}$ 的零空间；在本例中， 零空间 的维数为 1，因为它仅依赖于一个参数，即 $t$。 我们还用术语零化向量（null vector） 表示 $(1/16, -5/8, 1)$。 接下来，我们将其形式化为一则定义。

由定义，零空间 必是 $\R^n$ 的子空间，即 $\nullity(\mx{A}) \leq n$。 它是 线性 子空间（见 例 8.2）。该子空间的维数很重要，并有其专门的定义。

由于 零空间 是 $\R^n$ 的子空间，我们有 $\nullity(\mx{A}) \leq n$。但 零空间 低多少维？这大致可由 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 中约束条件的个数来刻画，但此处须谨慎。仅仅因为 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 中有 $m$ 个方程，并不自动意味着 $\nullity(\mx{A}) = n - m$。$\mx{A}$ 中究竟有多少约束条件，正是由 秩 这一概念所刻画的。后面我们将证明 $\nullity(\mx{A}) = n - r$，即维数降低了 $r$（即 $\mx{A}$ 的 秩），所用约束来自 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$。

利用 高斯消元法，我们可得到 零空间 的一组 基，从而也得到 零空间 的维数。 正是 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 的解中独立参数的个数决定了 零空间 的维数。

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对于 $m\times n$ 矩阵 $\mx{A}$，回顾 定义 6.2 中 行 $\vc{a}_{i,}^\T$（其中 $i\in{1,\dots,m}$）与列 $\vc{a}_{,j}$ 的取法，即

\begin{equation} \mx{A} = \bigl(\vc{a}_{,1} \,\,\, \vc{a}_{,2} \,\,\,\dots\,\,\, \vc{a}_{,n}\bigr) = \left( \begin{array}{c} \vc{a}_{1,}^\T\\ \vc{a}_{2,}^\T\\ \vdots \\ \vc{a}_{m,}^\T\\ \end{array} \right). \end{equation}

(8.10)

此外，我们再次说明本书中列向量与 行向量 的记法，即 所有向量默认都是 列向量；若要使用 行向量， 则取 列向量 $\vc{x}$ 并转置得到 行向量 $\vc{x}^\T$。 另外，$(x_1,x_2,x_3)$ 也是 列向量（注意逗号），而 $(x_1 \spc x_2 \spc x_3)$ 是 行向量， 其说明见 定义 2.5 下方。

既然 零空间 已经明确，就可以引入两个相关概念，即 列空间 与 行空间。

现在注意到，矩阵-向量乘法 $\mx{A}\vc{x}$ 可表示为

\begin{equation} \mx{A}\vc{x}= \left(\vc{a}_{,1}\,\,\, \vc{a}_{,2}\,\,\, \dots\,\,\, \vc{a}_{,n}\right)\vc{x} = x_1\vc{a}_{,1} + x_2\vc{a}_{,2} + \dots +x_n\vc{a}_{,n}, \end{equation}

(8.11)

即作为 线性组合（见 定义 5.1）， 使用的是 $\mx{A}$ 的 列向量。因此，列空间 就是所有 可由第一个 列向量 的常数倍加上 第二个 列向量 的常数倍，依此类推，所生成的向量全体。 注意，列空间 按定义是 $\R^m$ 的子空间，因为 $\mx{A}$ 的所有 列向量 的元素个数均为 $m$。

与 列空间 类似，我们也可将其写为向量-矩阵乘法，但这一次使用的是 含 $m$ 个元素的 行向量 $\vc{x}^\T$，并从右侧相乘，即

\begin{equation} \vc{x}^\T\mx{A}= \vc{x}^\T \left(\begin{array}{c} \vc{a}_{1,}^\T\\ \vc{a}_{2,}^\T\\ \vdots \\\vc{a}_{m,}^T \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1\ \ x_2\ \ \dots\ \ x_m \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \vc{a}_{1,}^\T\\ \vc{a}_{2,}^\T\\ \vdots \\\vc{a}_{m,}^T \end{array}\right) = x_1\vc{a}_{1,}^\T + x_2 \vc{a}_{2,}^\T + \dots + x_m \vc{a}_{m,}^\T. \end{equation}

(8.12)

因此，这也是一个 线性组合（见 定义 5.1），但这一次使用的是 $\mx{A}$ 的 行向量。 因此，行空间 就是所有 可由第一个 行向量 的常数倍加上 第二个 行向量 的常数倍，依此类推，所生成的向量全体。 注意，行空间 按定义是 $\R^n$ 的子空间，因为 $\mx{A}$ 的所有 行向量 的元素个数均为 $n$。

下面，我们将逐步推导，最终能够方便地得到 矩阵的列/行向量 所张成的列/行空间。 我们从下列定理开始。

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请注意，定理 8.2 仅对行空间 成立， 而不适用于 列空间。

下面，为经 高斯消元法 得到的矩阵引入一个专门的术语将很有用。 这一定义如下所述。

请注意，处于 行阶梯形 的矩阵可通过反复应用 高斯消元法 直至无法继续约化而得到。 这使得处于 行阶梯形 的矩阵具有类 三角 结构，例如

\begin{equation} \left( \begin{array}{rrrrr} \underline{2} & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & \underline{1} & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \underline{1} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right). \end{equation}

(8.21)

因此，这类矩阵有时称为 $\mx{A}$ 的「阶梯等价」矩阵。 前式中下划线的首项非零系数 十分重要。这些矩阵元素常称为主元（pivot element）。 有些教材要求将这些首项非零系数化为 1，可将整行除以该首项非零系数来实现。然而，我们此处不作此要求。

接下来，我们给出一个定理，说明如何求 行空间 的 基 向量以及如何求 行空间 的维数。

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请注意，行/列空间 的 基 向量个数即为行/列秩。

接下来，我们将证明 行空间 的维数（即 行秩）与 列空间 的维数（即 列秩）相等。在下列定理之后，我们将举例说明如何求行空间与 列空间 的 基。

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此后，我们无需区分 $\rowrank(\mx{A})$ 与 $\colrank(\mx{A})$，而统称为 秩，记作 $\rank(\mx{A})$。还请注意，上述定理也可表述为 $\rank(\mx{A})= \rank(\mx{A}^{\T})$。 这意味着，若要求矩阵 $\mx{A}$ 的 列空间 向量，可将其转置为 $\mx{A}^{\T}$， 再应用 定理 8.3。 接下来，我们举例说明如何求 列空间 的 基。

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接下来，我们给出一个定理，给出矩阵乘积 秩 的上界。

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现在，我们知道 $\vc{x}_h$ 属于 $\mx{A}$ 的 零空间，且 $\vc{y}$ 必属于 $\mx{A}$ 的 列空间， 否则它不是 $\mx{A}\vc{x}=\vc{y}$ 的解。在 交互图 8.3 中， 我们展示这两种解如何相互作用。 下面的维数定理非常实用：若已知 零空间 的维数或 秩，即可求出另一个（假设已知矩阵的列数，这是一个合理的假设）。

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回顾：$\nullity(\mx{A})$ 决定描述 齐次方程组 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 的解所需的参数个数；$\rank(\mx{A})$ 是当 $\mx{A}\vc{x}=\vc{y}$ 有解时可取 线性无关 的右端项 $\vc{y}$ 的个数。 最后，这两个数之和为 $n$，即 $\mx{A}$ 的列数。

请注意，$\mx{A}$ 可视为一种变换或 线性映射（见 第 9 章）， 且 $n$ 是 $\mx{A}$ 的 定义域 维数。 由此，可将 $\rank(\mx{A})$ 理解为施加 $\mx{A}$ 后「保留」的维数， 而 $\nullity(\mx{A})$ 则是 $\mx{A}$ 「坍缩」的维数。

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在 第 7 章 中，介绍了计算方阵行列式的不同方法。 利用 子式（见 定义 7.8），也可以求矩阵的 秩，如下面的定理所述。

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由 定理 8.9 和 定理 7.8 可推出， 后者指出矩阵的逆仅在其行列式非零时有定义， 可见若方阵 $n\times n$ 矩阵 $\mx{A}$ 要可逆，则必须有 $\rank(\mx{A})=n$。

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在最后一个例子中，我们发现由测量可构成的矩阵 $\mathbf{B}$ 与我们所求参数通过 $\mathbf{B} = \mathbf{R}^\T \mathbf{S}$ 相联系。如何由 $\mathbf{B}$ 计算 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{S}$？换言之，如何分解矩阵 $\mathbf{B}$ 并将其写成两个因子 $\mathbf{R}$ 和 $\mathbf{S}$ 的乘积？ 这属于分解论题的一部分，这些工具在许多应用中很有用。 然而，遗憾的是这超出了本书的范围。